2008年高考数列专题热点复习指导

天津市第四十二中学张鼎言

　　3. 数列{an}满足a1=1且an+1=(1+-)an+-(n1)

　　(Ⅰ)用数学归纳法证明：an2(n2)；

　　(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)0成立，证明：an

　　证明(Ⅰ)当n=2时，a2=(1+-)·1+-=22，不等式成立；

　　假定n=k时，ak2，

　　ak+1=(1+-)·ak+-2(1+-)+-，

　　∵1+->1，->0 ∴ak+12

　　由上面 n=2与n=k+1，可知不等式an2，对n=2，3，…成立。

　　证明(Ⅱ)an+1=(1+-)·an+-

　　由(Ⅰ)an1，n=1，2，3，… 易得-- ∴an+1an·（1+-+-)

　　两边取以e为底的对数，∵e>1，∴lnan+1lnan+ln[1+(-+-)]

　　又由(Ⅱ)给出的条件ln(1+x)0

　　上面的不等式可变形为：lnan+1-lnan-+-

　　即 lnan-lnan-1-+-

　　lnan-1-lnan-2-+-

　　……

　　lna2-lna1-+-

　　把以上n-1个不等式相加：

　　lnan-lna1-+-+…+-+-+-+…+-

　　∵lna1=0

　　又-+-+…+-=1--+---+…+---=1--，

　　-+-+…+-=1--，

　　∴lnan1--+1--=2----<2

　　∴an

　　注第(Ⅱ)问是把不等式证明的比较法，放缩法与数列的基本方法与等比数列求和融在一起，这种综合题不单单是内容的综合，深入到数学方法的综合。

　　4. 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1，且6Sn=(an+1)(an+2)，n∈N+

　　(Ⅰ)求{an}的通项公式；

　　(Ⅱ)设数列{bn}满足an(--1)=1，并记Tn为{bn}的前n项和，求证：3Tn+1>log2(an+3)，n∈N+。

　　解：(Ⅰ)a1=S1>1

　　6Sn-6Sn-1=an2+3an+2-(a2n-1+3an-1+2)

　　6an=(an+an-1)(an-an-1)+3(an-an-1)

　　(an+an-1)(an-an-1)-3(an+an-1)=0

　　∵an>0，an-1>0

　　∴an-an-1=3

　　又 6a1=a21+3a1+2，a1>1，∴a1=2

　　∴an=3n-1

　　分析(2)--1=-，-=-

　　bn=log2-

　　Tn=b1+b2+…+bn=log2-g-g-g…g-

　　=log2(1+-)(1+-)(1+-)…(1+-)

　　3Tn+1=log22g(1+-)3g(1+-)3g(1+-)3g…g(1+-)3

　　在不等式证明中，解决连乘最为困难，所以要考其他途径变形

　　由二项式定理(1+x)n=1+C1nx+…+Cnnxn(x>0)

　　有(1+x)n>1+C1nx=1+nx

　　研究3Tn+1等式中右边的连续两项：

　　(1+-)3>1+-=-

　　[1+-]3>1+-=-

　　这样的变形乘积项就能打破，下面有：

　　3Tn+1>log2(2g-g-g…g-g-)

　　=log2(3n+2)=log2(an+3).

　　注：二项展开式在处理不等量关系及近似计算中起重要的简化作用。

　　5. 已知数列{an}中有相邻两项a2k-1，a2k是关于x的方程的两个根，且a2k-1a2k(k=1，2，3，…)

　　(Ⅰ)求a1，a3，a5，a7；

　　(Ⅱ)求数列{an}的前2n项的和S2n；

　　(Ⅲ)记f(n)=-(-+3)，Tn=-+-+-+…+-

　　求证：-Tn-(n∈N*)

　　(Ⅰ)解：方程(x-3k)(x-2k)=0，x1=3k，x2=2k

　　当k=1时，x1=3，x2=2，由a1a2→a1=2，a2=3

　　当k=2时，x1=6，x2=4，由a3a4→a3=4，a4=6

　　当k=3时，x1=9，x2=8，由a5a6→a5=8，a6=9

　　当k=4时，x1=12，x2=16，由a7a8→a7=12，a8=16

　　∴a1=2，a3=4，a5=8，a7=12

　　分析(2)S2n=(a1+a3+a5+a8)+(a2+a4+a6+a7)+a9+…+a2n

　　=3(1+2+…+n)+2+22+…+2n=-n(n+1)+2n+1-2.

　　分析(3)f(n)=12(-+3)

　　n=2，f(2)=2，n=3，f(3)=2，

　　n=4，f(4)=1，n=5，f(5)=1，

　　随着n的变化，很难确定f(n)=?

　　要证-≤Tn≤-

　　T1=-=-，T2=-+-=-

　　由此看出T1、T2是两个重要的结果。

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