高考数学复习：集合与映射专题复习指导

天津市第四十二中学张鼎言

　　一、集合与简易逻辑

　　复习导引：这部分高考题一般以选择题与填空题出现。多数题并不是以集合内容为载体，只是用了集合的表示方法和简单的交、并、补运算。这部分题其内容的载体涉及到函数、三角函数、不等式、排列组合等知识。复习这一部分特别请读者注意第1题，阐述了如何审题，第3、5题的思考方法。简易逻辑部分应把目光集中到“充要条件”上。

　　1.设集合M={1,2,3,4,5,6},S1、S2、…Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si={ai,bi},Sj={aj,bj},(i≠j,i、j∈{1，2，3，…k})都有min{-,-}≠min{-,-}(min{x,y}表示两个数x、y中的较小者)。则k的最大值是( )

　　A.10 B. 11

　　C. 12 D. 13

　　分析：审题是解题的源头，数学审题训练是对数学语言不断加深理解的过程。以本题为例min{-,-}≠{-,-}如何解决？我们不妨把抽象问题具体化！

　　如Si={1,2},Sj={2,3}那么min{-,2}为-，min{-,-}为-,Si是Sj符合题目要求的两个集合。若Sj={2，4}则与Si={2，4}按题目要求应是同一个集合。

　　题意弄清楚了，便有{1，2}，{2，4}，{1，3}，{2，6}，{1，2}，{3，6}，{2，3}，{4，6}按题目要求是4个集合。M是6个元素构成的集合，含有2个元素组成的集合是C62=15个，去掉4个，满足条件的集合有11个，故选B。

　　注：把抽象问题具体化是理解数学语言，准确抓住题意的捷径。

　　2.设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是( )

　　(A)CIS1∩(S2∪S3)=

　　(B)S1(CIS2∩CIS3)

　　(C)CIS1∩CIS2∩CIS3=

　　(D)S1(CIS2∪CIS3)

　　分析：这个问题涉及到集合的“交”、“并”、“补”运算。我们在复习集合部分时,应让同学掌握如下的定律:

　　摩根公式

　　CIA∩CIB=CI(A∪B)

　　CIA∪CIB=CI(A∩B)

　　这样,选项C中:

　　CIS1∩CIS2∩CIS3

　　=CI(S1∪S2∪S3)

　　由已知

　　S1∪S2∪S3=I

　　即CI(S1∪S2∪S3)=CI=

　　而上面的定律并不是复习中硬加上的,这个定律是教材练习一道习题的引申。所以,高考复习源于教材,高于教材。

　　这道题的解决,也可用特殊值法,如可设S1={1，2}，S2={1，3}，S3={1，4}问题也不难解决。

　　3.是正实数，设S={|f(x)=cos[(x+])是奇函数}，若对每个实数a，S∩(a，a+1)的元素不超过2个，且有a使S∩(a，a+1)含2个元素，则的取值范围是。

　　解：由f(x)=cos[(x+)]是奇函数,可得cosx·cos=0,cosx不恒为0，

　　∴cos=0,=k+-，k∈Z

　　又>0，∴=-(k+-)

　　(a，a+1)的区间长度为1,在此区间内有且仅有两个角, 两个角之差为:-(k1+k2)

　　不妨设k≥0，k∈Z：

　　两个相邻角之差为-<1,>。

　　若在区间(a，a+1)内仅有二角,那么-≥1，≤2，∴<≤2。

　　注：这是集合与三角函数综合题。

　　4.设集合A={(x,y)|y≥-|x-2|}，B={(x,y)|y≤-|x|+b}，A∩B≠，

　　(1)b的取值范围是；

　　(2)若(x，y)∈A∩B且x+2y的最大值为9，则b的值是。

　　解：用图形分别表示集合A、B。

　　-

　　-

　　-

　　B:y≤-|x|+b

　　从观察图形，易知

　　b≥1,A∩B≠；

　　(2)直线l方程为x+2y-2=0

　　直线x+2y=9平行于l，

　　其截距为-

　　∴b=-

　　5.集合A＝｛x|-＜0}，B＝｛x ||x -b|＜a}，若“a＝1”是“A∩B≠”的充分条件，则b的取值范围是( 　)

　　A.-2≤b<0 B.0

　　C.-3

　　分析A={x|-1

　　A、B区间长度均为2。

　　我们从反面考虑，若A∩B≠

　　此时，b+1≤-1或b-1≥1

　　即b≤-2或b≥2。

　　b≤-2或b≥2为b不能取值的范围，所以应排除A、B、C,选D。

　　注：本题是以集合为基础的充要条件，其难点并不是充要条件，而是对参数b的处理。本题的解法意在从A∩B≠出发,类似于不等量关系，考虑等量关系使问题简化，再用排除法。

　　6.函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f(f(x))=f(x)，则这样的函数个数共有

　　(A)1个 (B)4个

　　(C)8个 (D)10个

　　解：根据对应关系定义,从象的个数出发去思考。

　　(1)函数集合有一个象,如象为1,

　　这时f(x)=1,x=1,2,3

　　f[f(x)]=f(1)=1=f(x)

　　写成对应形式{1,2,3}f {1}

　　若f(x)=2,x=1,2,3有{1,2,3}f {2}

　　同理{1,2,3}f {3}

　　以上共有3个函数。

　　(2)函数集合有2个元素

　　如函数集合为{1,2}

　　有{1,3}f {1},{2}f {2}

　　这时f(1)=1,f[f(1)]=f(1)

　　f(3)=1,f[f(3)]=f(1)=f(3)

　　f(2)=1,f[f(2)]=f(2)

　　有两个函数。

　　同理函数集合为{1,3},{2,3}各有2个函数

　　综上有6个函数

　　(3)函数集合有三个元素{1,2,3}

　　只有f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3

　　∴有一个函数,f(x)=x

　　∴综上(1)、(2)、(3)共有10个函数,故选D。

1.坐落在天津市红桥区的吕祖堂是目前我国仅存的较完好的义和团坛口，现为义和团运动纪念馆。后殿陈列的当年使用的传单和神牌上供奉着宋江、燕青等名号，显系效法梁山好汉。这表明：

　　A.义和团运动是一次农民起义

　　B.义和团运动是一场反侵略斗争

　　C.义和团对清政府缺乏清楚的认识

　　D.义和团运动带有盲目排外的倾向

　　●答案：C

　　●分析：这是一道具有地方气息的试题，天津是当年义和团运动的中心之一，保留着大量义和团运动的遗迹和文物。义和团运动是一场农民运动，但并不以推翻清政府为目的，不是起义，故A项错误；B、D两项虽然本身与史实相符，但与题干中提供的材料没有关系，故也不能选；宋江等梁山好汉的政治追求是接受“招安”、投效朝廷，义和团供奉宋江、燕青等名号，实际上是“扶清灭洋”这一口号的体现，这说明义和团对清政府缺乏清楚的认识。

　　2.阅读以下材料：

　　材料一

　　“谁控制了海洋，谁就控制了世界。要控制海洋，就要有强大的海军，……海军必须积极出击，不能消极防御。”

　　——(美)马汉：《制海权对历史的影响》1890年

　　①请阐述上面观点萌生的背景。

　　材料二

　　洋务派关于海军作战指导方针，比较普遍的认识是：“修我陆上之基业，不必争利海中”；“无事扬威海上，有警时收进海口，以守为战”，强调海疆防务，“战不如守，而守即为战”；提出水师作战应“以船为用，以炮台为体”，实现“水陆相依”。

　　——《洋务运动》丛刊第2册

　　②材料二和材料一相比，观点有何不同？为什么会有这样的差别？

　　材料三

　　北洋水师从筹建到成军，清政府一共投入经费一亿两白银。日本政府从1868年到1894年3月26年间共向海军拨款9亿日元，折合成白银才6000万两，相当于同期清政府对北洋水师投入的60%。……北洋水师与日本联合舰队铁甲舰方面的数量比是6：1，中国遥遥领先；非铁甲舰方面，8：9，日本略胜一筹。就火炮而言，无论大口径火炮，还是小口径火炮，北洋舰队均占优势。200毫米以上大口径的火炮，北洋舰队与联合舰队的比例是26：11，北洋舰队遥遥领先；小口径火炮方面，北洋舰队与联合舰队的比例是92：50！……北洋舰队的军官多能操英语，指挥命令竟是以英语发号。

　　——金一南《谁打败了北洋水师》

耀华中学赵津

　　(2)设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为EP，由能量守恒，有

　　-·2mv12=-·3mv22+EP ④

　　撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转变成D的动能，设D的速度为，则有

　　EP=-(2m)v32 ⑤

　　当弹簧伸长时，A球离开挡板P，并获得速度。当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长。设此时的速度为V4，由动量守恒，有

　　2mv3=3mv4 ⑥

　　当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为，由能量守恒，有

　　-·2mv32=-·3mv42+E'P ⑦

　　解以上各式得

　　E'P=-mv02 ⑧

　　【例题2】如图所示，C是放在光滑的水平面上的一块木板，木板的质量为3m，在木板的上面有两块质量均为m的小木块A和B，它们与木板间的动摩擦因数均为μ。最初木板静止，A、B两木块同时以方向水平向右的初速度v0和2v0在木板上滑动，木板足够长， A、B始终未滑离木板。求：

　　(1)木块B从刚开始运动到与木板C速度刚好相等的过程中，木块B所发生的位移；

　　(2)木块A在整个过程中的最小速度。

　　解题方法与技巧：

　　(1)木块A先做匀减速直线运动，后做匀加速直线运动；木块B一直做匀减速直线运动；木板C做两段加速度不同的匀加速直线运动，直到A、B、C三者的速度相等为止，设为v1。对A、B、C三者组成的系统，由动量守恒定律得：

　　mv0=2mv0

　　=(m+m+3m)v1

　　解得：v1=0.6v0

　　对木块B运用动能定理，有：

　　-mgs=-mv12--m(2v0)2

　　解得：s=91v02/50(g)

　　(2)设木块A在整个过程中的最小速度为v′，所用时间为t，由牛顿第二定律：

　　对木块

　　A：a1=mg/m=g，

　　对木板

　　C：a2=2mg/3m=2g/3，

　　当木块A与木板C的速度相等时，木块A的速度最小，因此有：

　　v0-gt

　　=(2g/3)t

　　解得 t=3v0/(5g)

　　木块A在整个过程中的最小速度为：

　　v'=v0-a1t=2v0/5

　　【例题3】如图所示，一质量为M、长为L的长方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m＜M。现以地面为参照系，给A和B以大小相等、方向相反的初速度，使A开始向左运动，B开始向右运动，但最后A刚好没有滑离B板。

　　(1)若已知A和B的初速度大小为v0，求它们最后的速度大小和方向.

　　(2)若初速度的大小未知，求小木块A向左运动到达的最远处(从地面上看)离出发点的距离。

　　解题方法与技巧：

　　方法1.用牛顿第二定律和运动学公式求解。

　　A刚好没有滑离B板，表示当A滑到B板的最左端时，A、B具有相同的速度，设此速度为v，经过时间为t，A、B间的滑动摩擦力为f。如图所示。

　　对A据牛顿第二定律和运动学公式有：

　　f=maA， L2=v0t--aAt2，

　　v=-v0+aAt；

　　对B据牛顿第二定律和运动学公式有：

　　f=MaB， L0=v0t--aBt2，

　　v=v0-aBt；

　　由几何关系有：L0+L2=L；

　　由以上各式可求得它们最后的速度大小为

　　v＝-·v0，方向向右。

　　fL=-

　　对A，向左运动的最大距离为L1=-=-L。
南开中学段胜利

　　交际用语是每年高考英语试卷单项选择部分的必考内容，通常都会有1—2个题目。题干的呈现形式通常是对话，挖空设项多出现在交际应答里。交际英语主要考查日常生活常用的话题范围里，同学们正确使用英语进行交际的能力。对于高中阶段出现的交际功能用语，如问候、祝愿、介绍、告别、感谢道歉、邀请、约会、希望、请求、发表观点、购物、就餐、使用交通工具等，都要有准确的把握。同时，要特别注意由于中西文化不同，交际应答也有很大的区别。例如，遇到别人对你的赞扬，你需要用“Thank you.”做答，而汉语却会说诸如“过奖了”之类的话。高考中，经常出现“貌似”正确的“中国式”应答的选项，

　　例如：——It’s getting late. I'm afraid I must be going now.

　　——OK. ______.

　　A. Take it easy

　　B. Go slowly

　　C. Stay longer

　　D. See you

　　答案D。本题考查的交际功能是道别用语。彼此分手可以说“See you (again, after, etc.).”“Take care.”“Good-bye.”“Bye.”等。选项B，“慢点走”是典型的中国式应答，千万不要落到错误的陷阱里去。

　　从高考的意义来说，交际应答尽管只是一两分的问题，可在日常的英语应用中，它却十分重要，千万不可掉以轻心。做好交际应答，要注意以下几点：

　　一、交际应答要防止“中国式”答语的陷阱

　　例一：——Will you join us in the game?

　　——Thank you,

　　A. but why not?

　　B. but I'd rather not.

　　C. and I won't

　　D. and I'll join.

　　答案B。本题容易按照中文的思维误选D。

　　例二：——You've given us a wonderful Chinese dinner, Mrs. Wang.

　　——_____.

　　A. Oh, I'm afraid I didn't cook very well

　　B. I'm glad you enjoyed it

　　C. Come again when you are free

　　D. It's not necessary for you to say so

　　答案B。本题提供的其他三个备选项，都是中国式的回答。要特别注意中英两种不同的文化背景所带来的行为习惯的差异。

　　例三：“Have you been here long?” ______.

　　A.No, not very

　　B.Not much

　　C.Yes, only little

　　D.No, only yesterday

　　答案A。简略答语，补全为“I haven't been here very long.”注意选项D，是中国式英语。

　　例四：——I think you should phone Jenny and say sorry to her.

　　——____________. It was her fault.

　　A. No way B. Not possible

　　C. No chance D. Not at all

　　答案A。根据答话所说的It was her fault，可以判断答话人决不打电话向Jenny道歉。no way意为“无论如何也不，决不，没门儿”，故答案为A。注意B选项“中国味”十足。

　　例五：——You should apologize to her, Barry.

　　——______, but it's not going to be easy.

　　A. I suppose so B. I feel so

　　C. I prefer to D. I like to

　　答案A。注意B选项，没有这样的应答搭配。

　　二、交际应答要把握不同选项的适用语境

　　例一：——Can you read the sign, sir? No smoking allowed in the lift!

　　——________.

　　A. Never mind

　　B. Don't mention it

　　C. Sure, I don't smoke

　　D. Pardon me

　　答案D，“请原谅”。A 是用来告诉别人不要担心、忧虑或伤心。例如：“We haven't done very well, have we?”“Never mind. At least we tried.”B是用来礼貌地回答别人对你的感谢，即“别客气”。例如：“Thanks for the ride home!”“Don't mention it.”C不符合第一句话给出的情境。

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