天津市第四十二中学 张鼎言

　　2. 在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0，--)和F2(0，-)为焦点、离心率为-的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量-=-+-。求：

　　(Ⅰ)点M的轨迹方程；

　　(Ⅱ)|-|的最小值。

　　解：(1)由已知，c=-，e=-=-，a=2，b2=1。

　　所以曲线C的方程为：

　　x2+-=1(x>0，y>0)

　　下面求过P点的曲线C的切线方程。

　　首先把曲线C的方程转化为函数形式，这是全题的关键。

　　∵y>0，∴y=2-，(0

　　直线方程斜率k=y'=--

　　因P(x0，y0)在曲线C上，有k=--，得切线AB的方程为：

　　y=--(x-x0)+y0

　　A(-，0)和B(0，-)，

　　由-=-+-，得M的坐标M(x，y)，x=-，y=-把P(x0，y0)代入曲线C的方程，得点M的轨迹方程为：

　　-+-=1(x>1，y>2)

　　(Ⅱ)|-|2=x2+y2=x2+-=x2+-+4=(x2-1)+-+59

　　当且仅当x2-1=-，x=->1时|-|的最小值为3。

　　3. 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2≠0)是抛物线y2=2px(p>0)上的两个点，O是坐标原点，向量-，-满足|-+-|=|---|。设圆C的方程为x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0

　　(Ⅰ)证明线段AB是圆C的直径；

　　(Ⅱ)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为-时，求P的值。

　　解：(Ⅰ)由|-+-|=|---|，∴(-+-)2=(---)2

　　整理得：-·■=0

　　∴x1·x2+y1·y2=0

　　AB中点为(-，-)，

　　-|AB|

　　=(-)2+-

　　=--

　　=-- (1)

　　圆C x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0

　　(x--)2+(y--)2

　　=(-)2+(-)2

　　=-[x12+x22+y12+y22+2(x1x2+y1y2)]

　　=-(x12+x22+y12+y22) (2)

　　对照(1)、(2)两式，问题得证。

　　(Ⅱ)先理解题意，圆C的圆心O'(-，-)是动圆，圆的半径长短也在变化，直线x-2y=0是定直线。问题的实质是动点到定直线的距离，问题转化为求动点的轨迹方程。

　　x=-=-

　　=-(y12+y22)

　　=-[(y1+y2)2-2y1y2]

　　=-[(2y)2-2y1y2]

　　又x1x2+y1y2=0

　　→-·■+y1y2=0

　　→y1y2=-4p2代入(*)式，整理得y2=p(x-2p)